Límite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.
Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.
De manera intuitiva, el límite de una función real en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a a. En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar:
Concepto de límite de una función en un punto
A la izquierda la notación empleada para referirnos al límite. Se lee "límite de f(x) cuando x tiende a a" . El valor del límite es L, representado en azul. La función f(x) está en rojo, y el punto en el que estamos estudiando el límite tiene una coordenada x cuyo valor es a, en verde. A la derecha esta misma idea representada de manera dinámica. A medida que nos acercamos a x=a, las correspondientes imágenes se aproximan al valor del límite L. Aunque en este caso, el valor del límite coincide con el de la función en el punto, pues f(a)=L, en realidad se trata de dos conceptos distintos, como veremos más abajo.
En este apartado vamos a profundizar en esta idea. Para ello empezaremos aproximándonos al concepto de una manera intuitiva, presentaremos distintos ejemplos y terminaremos con una definición formal. Lo haremos a través de los siguientes puntos:
- Concepto de aproximaciones sucesivas
- Límites por la izquierda y por la derecha
- Límite de una función en un punto
- Definición formal
- Propiedades
- Conclusiones
Si lo que deseas es aprender a calcular el límite de una función en un punto, y ya estás familiarizado con este concepto, te recomendamos que vayas directamente al apartado enlazado.
¿Preparado para estudiar "al límite"?
Aproximaciones sucesivas
Imagina que te pedimos que recorras la mitad de la distancia que te separa de la puerta de tu habitación. Una vez allí, te pedimos que lo hagas de nuevo... y una vez allí, una vez más... ¿Llegarías finalmente a recorrer la distancia que te separaba de la puerta al principio si seguimos dándote, una y otra vez, la misma orden?
Lo cierto es que en cada iteración te aproximarías al valor de la distancia total, y, si repitieras el proceso infinitas veces, efectivamente, lo alcanzarías. Apliquemos a una función esta idea de aproximarnos sucesivamente a un punto:
¿Qué valor alcanza la función (es decir, su coordenada y) cuando la x se aproxima a 3?
Tu primera tentación puede ser intentar calcular f(3)... pero vemos que queda 0/0, y ya sabemos que no tiene sentido en matemáticas dividir entre 0 (y mucho menos si el número que divido es el propio cero). Pero observa qué ocurre cuando hacemos varias aproximaciones sucesivas:
| x | y=f(x) |
| 2 | 0.5 |
| 2.5 | 0.75 |
| 2.9 | 0.95 |
| 2.99 | 0.995 |
| 2.999 | 0.9995 |
A medida que me aproximo a x=3, sin llegar a alcanzarlo, el valor de la función se aproxima a 1. Observa que todos los valores de x que hemos tomado eran ligeramente menores que tres. Podemos repetir el proceso, tomando esta vez valores ligeramente mayores que tres:
| x | y=f(x) |
| 4 | 1.5 |
| 3.5 | 1.25 |
| 3.1 | 1.05 |
| 3.01 | 1.005 |
| 3.001 | 1.0005 |
Como vemos, la sucesión de valores también nos conduce a 1. Por tanto, podemos decir que 1 es el límite de
Ejemplo de límite de una función
En rojo, gráfica de la función del ejemplo,
Aunque decimos "límite de una función en un punto", cuando calculamos el límite lo que hacemos es estudiar si las imágenes de la función se acercan a un valor concreto cuando la variable independiente x "tiende a" a (o "se acerca a" a). Dicho de otra manera, el límite es un concepto dinámico.
Límites por la izquierda, por la derecha y límite de la función
Para determinar el valor del límite del ejemplo hemos seguido en realidad un doble camino:
- Nos hemos acercado a x=3 por la izquierda, es decir, tomando valores ligeramente menores que 3, y...
- nos hemos acercado también por la derecha, es decir, tomando valores ligeramente superiores a 3
Como ambos procesos nos llevaban al mismo valor de la función, concluíamos que
El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores menores que a. Se denota:
Donde:
- f(x) : es la función cuyo límite por la izquierda estoy calculando
x→a− : se lee "x tiende a a por la izquierda", es decir, con valores menores que a. Ten presente que, por ejemplo, 0.99 está a la izquierda de 1, pero -1.001 está a la izquierda de -1- L : Es el valor del límite lateral. Puede ser un número real cualquiera, pero también infinito ∞ o menos infinito -∞
Observa algunos ejemplos:
Límite lateral por la izquierda de una función
En 1, la notación utilizada para referirnos al límite de una función cuando x se aproxima a a por la izquierda. En 2, 3 y 4 tenemos tres ejemplos distintos. En 2 el límite es una valor real concreto, L. Observa como, de nuevo, el valor del límite no coincide con el de la función en el punto. En 3, a medida que nos aproximamos a a por la izquierda, los correspondientes valores de y son cada vez mayores. Es el caso en el que el valor del límite lateral es infinito. En 4, el caso complementario, con un límite lateral de menos infinito.
El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores mayores que a. Se denota:
Donde:
- f(x) : es la función cuyo límite por la derecha estoy calculando
x→a+ : se lee "x tiende a a por la derecha", es decir, con valores mayores que a. Ten presente que, por ejemplo, 1.001 está a la derecha de 1, pero -0.99 está a la derecha de -1- L : Es el valor del límite lateral. Puede ser un número real cualquiera, pero también infinito ∞ o menos infinito -∞
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